Trabalho de pesquisa realizado entre 12/2018 e 01/2019 por João Pereira de Souza

Explicação em vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=6bugHFQiLrk

Olá, tudo bem?

Neste vídeo vamos responder a uma pergunta bem interessante:

É possível achar qualquer frequência musical através da matemática a partir de uma frequência inicial?

Tipo, eu sei que frequência do Lá4 é 440 Hz, mas qual é a frequência do Dó4, ou do do Sib5?

Pois é, isso é bem interessante, né? Antes de prosseguirmos com a explicação, inscreva-se no nosso canal, dê um joinha, ative o sininho e compartilhe essa experiência se achar útil.

Voltando a nossa pergunta “É possível achar qualquer frequência musical a partir de uma frequência inicial?

A resposta é:

Sim!

Basta usar a fórmula

F = f x c^s

Onde:

F é a frequência que se deseja descobrir.

f é a frequência inicial (no caso 440 Hz do A4 ou A5) o importante que é o lá médio agudo, ou seja, o Lá acima do Dó central.

c é uma constante obtida através da divisão do semiton superior pelo inferior.

s é o número de semitons para o qual se deseja descobrir a frequência.

Vocês não vão achar essa fórmula em nenhum livro de música, matemática, nem física.

Eu acho. Pois foi eu mesmo desenvolvi.

Aplicando essa função do tipo a^x no plano cartesiano, obtemos o gráfico de uma função do tipo exponencial, onde no eixo das abscissas (x) temos os intervalos de semitons e no eixo das ordenadas as frequências.

Mas de onde vem a expressão F = f x c^s ?

Vamos explicar!

Como as frequências das oitavas são múltiplos de 2, ou seja, a frequência do A4 é 440 Hz, a frequência do A5 localizado uma oitava acima é o dobro de 440, ou seja, 880 e assim por diante; também existem 12 semitons na música ocidental, significa que para acharmos a frequência de qualquer intervalo precisamos, primeiro tomar uma frequência inicial f, a partir da qual se achará qualquer uma outra tanto para cima quanto para baixo, essa orientação será designada pelo expoente s, que significa semitons, para as frequencias abaixo de 440 Hz usamos o -s, para frequencias acima de 440 Hz usamos o +s.

Precisamos agora descobrir qual é o valor da constante c na nossa equação. Para o nosso exemplo vamos tomar 440 Hz como frequência inicial, que é o mais comum.

Ora, se a frequência inicial f vezes a constante c elevada ao número de semiton s é igual à frequência final F (que desejamos achar), então podemos dizer que 440 x c^12 = 880 já que 12 é o número de semitons correspondente a uma oitava acima. 

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 440:

(440/440) x c^12 = (880/440)

A expressão passa a ficar assim:

C^12 = 2

Agora é só resolver essa pequena álgebra.

Tirando a raíz 12ª de 2 encontramos nossa tão querida constante:

c = raíz 12ª de 2 = 1,0594630943592952645618252949463

Aplicando os números na fórmula temos:

F = 440 x (raiz 12ª de 2)^s

Ou

F = 440 x (1,0594630943592952645618252949463)^s

Com esses dados em mãos podemos achar qualquer frequência:

Ex. 1: 

Qual a frequência de 3 semitons acima do A4 (440 Hz)?

Resposta:   

F = 440 x raiz (12ª de 2)^3

F ≌ 523 Hz

Ex. 2: 

Qual a frequência de 5 semitons acima do A4 (440 Hz)?

Resposta: 

F = 440 x (1,0594630943592952645618252949463)^5
F ≌ 587 Hz

Ex. 3: 

Qual a frequência de 6 semitons abaixi do A4 (440 Hz)?

Resposta:  F = 440 x (1,0594630943592952645618252949463)^-3

F ≌ 370 Hz

Essa função gera um gráfico exponencial que você pode conferir no link na descrição do vídeo:

https://www.geogebra.org/graphing/t2rvc87r

É isso aí! Até a próxima!